đặt (12n+1,30n+2)=d

=>12n+1 chia hết cho d nên 5*(12n+1) chia hết cho d

=>30n+2 chia hết cho d nên 2*(30n+2) chia hết cho d

ta có : 5*(12n+1)-2*(30n+2) chia hết cho d

       = 1 chia hết cho d

=> d=1

=>(12n+1,30n+2)=1

=>đpcm

gọi d là ucln(12n+1;30n+2)

ta có : 12n+1 chia hết d

⇒60n + 5⋮d (1)

mà 30n+2⋮ d 

⇒60n + 4 ⋮ d (2)

từ (1) và (2) ta có:

⇒60n+5 -(60n+4)⋮d

⇒60n+5-60n-4⋮d

⇒1⋮d⇒d=1

vì ucln(12n+1;30n+2)=1

⇒12n+1/30n+2 là phân số tối giản

vậy 12n+1/30n+2 là phân số tối giản

Gọi d là UCLN của 12n+1 và 30n+2

Vậy 12n+1 và 30n+2 chia hết cho d

hay: 60n +5 và 60n+4 chia hết cho d

nên: (60n + 5) - (60n+4) = 1 chia hết do d. Vậy d lớn nhất bằng 1

hay 12n+1 và 30n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Kết luận: \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)

=>30n+2-30n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>Đây là phân số tối giản

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>Phân số tối giản

2) Theo đề, ta có: \(\dfrac{23+n}{40+n}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(n+23\right)=3\left(n+40\right)\)

\(\Leftrightarrow4n+92-3n-120=0\)

\(\Leftrightarrow n=28\)

Vậy: n=28

gọi UCLN của (30n+1,15n+2) là d                     30n+1 chia hết cho d

suy ra:30n+1 chia hết cho d                                     15n+2 chia hết cho d

suy ra:30n+4 chia hết cho d                    (30n+4)-(30n+1) chia hết cho d 

3 chia hết cho d                             vì 30n+1,15n+2 ko chia hết cho d

nên ucln =1                                     vậy ps 30n+1/15n+2 là ps tối giản

a) Gọi d là ƯCLN(n + 1; n + 2)

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(n+2⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(n+2\right)-\left(n+1\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n+2-n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản

b) Gọi d là ƯCLN(n + 1; 3n + 4)

\(\Rightarrow n+1⋮d\) và \(3n+4⋮d\)

Do \(n+1⋮d\Rightarrow3n+3⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(3n+4\right)-\left(3n+3\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(3n+4-3n-3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{n+1}{3n+4}\) là phân số tối giản

c) Gọi d là ƯCLN(3n + 2; 5n + 3)

\(\Rightarrow3n+2⋮d\) và \(5n+3⋮d\)

Do \(3n+2⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+10⋮d\)   (1)

Do \(5n+3⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(5n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15n+9⋮d\)   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left[\left(15n+10\right)-\left(15n+9\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(15n+10-15n-9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\) là phân số tối giản

d) Gọi d là ƯCLN(12n + 1; 30n + 2)

\(\Rightarrow12n+1⋮d\) và \(30n+2⋮d\)

Do \(12n+1⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5⋮d\)   (3)

Do \(30n+2⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow60n+4⋮2\)   (4)

Từ (3 và (4) \(\Rightarrow\left[\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5-60n-4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

a: Gọi d=ƯCLN(n+1;n+2)

=>n+2-n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

b: Gọi d=ƯCLN(3n+4;n+1)

=>3n+4-3n-3 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

c: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

d: Gọi d=ƯCLN(12n+1;30n+2)

=>60n+5-60n-4 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

Em chưa học làm dạng này , em làm thử thôi nhá, sai xin chỉ dạy thêm nha

2 . \(\dfrac{n^7+n^2+1}{n^8+n+1}=\dfrac{n^7-n+n^2+n+1}{n^8-n^2+n^2+n+1}\)

\(=\dfrac{n\left(n^6-1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^6-1\right)+n^2+n+1}=\dfrac{n\left(n^3+1\right)\left(n^3-1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^3+1\right)\left(n^3-1\right)+n^2+n+1}\)\(=\dfrac{n\left(n^3+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^3+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1}\)

\(=\dfrac{\left(n^2+n+1\right)\left[\left(n^4+n\right)\left(n-1\right)\right]}{\left(n^2+n+1\right)\left[\left(n^5+n^2\right)\left(n-1\right)+1\right]}\)

\(=\dfrac{n^5-n^4+n^2-n}{n^6-n^5+n^3-n^2+1}=\dfrac{n^4\left(n-1\right)+n\left(n-1\right)}{n^5\left(n-1\right)+n^2\left(n-1\right)+1}\)

\(=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n^4+n\right)}{\left(n-1\right)\left(n^5+n^2\right)+1}\)

Vậy ,với mọi số nguyên dương n thì phân thức trên sẽ không tối giản

Gọi d là ƯCLN(12n+1;30n+2)

\(\Rightarrow\)12n+1\(⋮\)d=)5(12n+1)\(⋮\)d=)60n+5 chia hết cho d

30n+2\(⋮\)d=)2(30n+2)\(⋮\)d=)60n+4 chia hết cho d

Vì 60n+5 và 60n+4 \(⋮\)d

Nên (60n+5)-(60n+4)\(⋮\)d

60n+5-60n-4\(⋮\)d

1\(⋮\)d

Vậy phân số\(\dfrac{12n+1}{30n+2}\)tối giản

Săn mãi mới dc 1 câu :)

Gọi \(d=ƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)=d\) (\(d\in N\)*)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N\)*; \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)=1\)

\(\Rightarrow\)Phân số \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) tối giản mới mọi n

Gọi \(d=ƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)\).

Do đó \(d\inƯC\left(12n+1;30n+2\right)\).

\(\Rightarrow12n+1⋮d;30n+2⋮d\)

\(\Rightarrow60n+5⋮d;60n+4⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow\) \(12n+1\) và \(30n+2\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(\Rightarrow\dfrac{12n+1}{30n+2}\) tối giản.

Vậy phân số \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) tối giản với mọi n.

a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)

=>30n+2-30n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>Đây là phân số tối giản

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>Phân số tối giản

1. a) Gọi a là ƯCLN của 2n+5 và n+3.

- Ta có: (n+3)⋮a

=>(2n+6)⋮a

Mà (2n+5)⋮a nên [(2n+6)-(2n+5)]⋮a

=>1⋮a

=>a=1 hay a=-1.

- Vậy \(\dfrac{2n+5}{n+3}\) là phân số tối giản.

b) -Để phân số B có giá trị là số nguyên thì:

\(\left(2n+5\right)⋮\left(n+3\right)\)

=>\(\left(2n+6-1\right)⋮\left(n+3\right)\)

=>\(-1⋮\left(n+3\right)\).

=>\(n+3\inƯ\left(-1\right)\).

=>\(n+3=1\) hay \(n+3=-1\).

=>\(n=-2\) (loại) hay \(n=-4\) (loại).

- Vậy n∈∅.

1. a) Gọi `(2n +5 ; n + 3 ) = d`

`=> {(2n+5 vdots d),(n+3 vdots d):}`

`=> {(2n+5 vdots d),(2(n+3) vdots d):}`

`=> {(2n+5 vdots d),(2n+6 vdots d):}`

Do đó `(2n+6) - (2n+5) vdots d`

`=> 1 vdots d`

`=> d = +-1`

Vậy `(2n+5)/(n+3)` là phân số tối giản

b) `B = (2n+5)/(n+3)` ( `n ne -3`)

`B = [2(n+3) -1]/(n+3)`

`B= [2(n+3)]/(n+3) - 1/(n+3)`

`B= 2 - 1/(n+3)`

Để B nguyên thì `1/(n+3)` có giá trị nguyên

`=> 1 vdots n+3`

`=> n+3 in Ư(1) = { 1 ; -1}`

+) Với `n+3 =1 => n = -2`(thỏa mãn điều kiện)

+) Với `n+ 3 = -1 => n= -4` (thỏa mãn điều kiện)

Vậy `n in { -2; -4}` thì `B` có giá trị nguyên

2. Gọi số học sinh giỏi kì `I` của lớp `6A` là `x` (` x in N **`)(học sinh)

Số học sinh còn lại của lớp `6A` là : `7/3 x` (học sinh)

Số học sinh giỏi của lớp `6A` cuối năm là: `x+4` (học sinh)

Cuối năm số học sinh còn lại của lớp `6A` là: `3/2 (x+4)`  (học sinh)

Vì số học sinh của lớp `6A` không đổi nên ta có :

`7/3x + x = 3/2 (x+4) + x+4`

`=> 10/3 x = 3/2 x + 6 + x + 4`

`=> 10/3 x  - 3/2 x -x = 10 `

`=> 5/6x = 10`

`=> x=12` (thỏa mãn điều kiện)

`=>` Số học sinh giỏi kì `I` của lớp `6A` là `12` học sinh

`=>` Số học sinh còn lại của lớp `6A` là : `12 . 7/3 =28` học sinh

`=>` Số học sinh của lớp `6A` là : `28 + 12 = 40` (học sinh)

Vậy lớp `6A` có `40` học sinh